En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.
Convergencia en distribución
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Se dice que una sucesión
de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria
si
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1e7bbd8af67f10784c900fad8e5b2b9e5e0a56)
para todo punto
en el que
es continua, donde
y
denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias
y
, respectivamente.
La convergencia en distribución puede indicarse como:
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(1)
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donde
es la ley (distribución de probabilidad) de X. Por ejemplo, si X es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir
.
Convergencia en probabilidad
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Una sucesión
de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria
si para todo
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e85dc33b098122f3441a9f55aa78098526e01be)
Suele indicarse de alguna de estas maneras:
![{\displaystyle X_{n}\ \xrightarrow {p} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {P} \ X,\ \ X_{n}\ {\overset {}{\xrightarrow {\Pr } }}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02b1b37ac5fc7c262c17632e039615d33497884)
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(2)
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Convergencia casi segura
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Una sucesión
de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria
si
![{\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3116273485a4897daa89586e7cf7ea975abbdae0)
Notación:
![{\displaystyle {\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {\mathrm {c.s.} } \,X.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9bcabb186255ffe4f181f68e60eeff26f33f51)
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(3)
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Convergencia en ![{\displaystyle L^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd0e15821dee35eab0c69149d6e7f7fc2afe3c9)
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Dado un número real
, se dice que la sucesión
de variables aleatorias reales converge en
a la variable aleatoria
, si los momentos absolutos
-ésimos
y
de
y de
existen, y
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71679b1d0b1e60590bc4f1b53d836bfb209df2cd)
donde el operador
denota la esperanza matemática.
Notación:
![{\displaystyle {\overset {}{X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b582ff07a2a6369df7d9f9f1666d77273f15c929)
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